הקדמה

מאמר טוב כולל, בדרך כלל, רעיון מרכזי אחד. מאמרנו הנוכחי אינו ממלא דרישה זאת. המאמר מפרט הוכחה מתימטית המופיעה בתוספות במסכת עירובין, מציע סיבה להופעתה של ההוכחה שם, מעלה הוכחה חלופית, מגלה משפטון חדש, מכיל קושיה על התוספות במסכת סוכה, נותן גירסה מודרנית לשתי ההוכחות, מציע ישום הוראתי של הוכחות אלה ומסיים בדיון כללי על תפקידה של הוכחה. ניתן להצדיק עירבוב נושאים זה בנקודת המוצא המשותפת להם. הרשוני להוסיף נימוק אנושי: "ככה אנחנו".

גיאומטריה בעירובין נו:

במשנה, מסכת אהלות פרק יב משנה ו, נאמר "שהמרובע יתר על העיגול רביע". מההקשר אשר שם ברור שמדובר ביחס ההיקפים שבין ריבוע ובין המעגל החסום בו, לכן תרגומם של הדברים ללשון ימינו הוא: היקפו של ריבוע גדול מהיקף המעגל החסום בו ברבע של היקף הריבוע. זה מבטא את ההנחה, המשמשת כהנחת-עבודה חישובית לאורך כל התלמוד. קטע זה מן המשנה מצוטט בגמרא במקומות רבים. במאמרנו נעסוק באחד מהם ובאחת ההערות נתייחס גם למקום נוסף.

במסכת עירובין, דף נו עמוד ב, מצוטטת משנתנו בדיון העוסק בשטחיהם של המגרשים ושל השדות והכרמים שסביב ערי הלויים, ובתוספות שם מסביר ר"י (ר' יצחק הזקן מדנפיר) שאותו רביע הוא "בין בהיקף בין בגוף הקרקע".
מכיוון שהגמרא במסכת עירובין סומכת את טענתה בדבר יחס השטחים על המשנה במסכת אהלות, המדברת על יחס ההיקפים, רואה ר"י צורך להראות שהטענה על יחס השטחים נובעת מהטענה על יחס ההיקפים.

הוכחתו של ר"י שונה מן הדרך המקובלת שבה אנו מוכיחים בבתי הספר את המשפט על שטח עיגול, לכן נפרט אותה כאן. (לשוני שבין ההוכחות יהיה, בהמשך דיוננו, תפקיד נוסף.) הנוסח שאכתוב כאן שומר רק על המאפיין העיקרי (לטעמי) של הוכחתו. בשונה מנוסחו של ר"י אדבר על עיגול שקוטרו 2R ולאו דווקא טפח אחד, ואכתוב במקום 3.

ובכן, נקיף את מרכז העיגול במעגלים עשויים חוט דק באופן שיכסו את שטח העיגול (ציור א), נחתוך אותם לאורכו של רדיוס אחד (הרדיוס הלבן שבציור), וניישר את החוטים (ציור ב). הגובה המסומן בציור ב הוא הרדיוס שבהמשך רדיוס החיתוך שבציור א. יישור החוטים נעשה באופן שהנקודות שעל הרדיוס הזה תישארנה במקומן והחוטים ישארו ניצבים לרדיוס זה. כך מתקבל משולש שבסיסו וגובהו R, לכן שטחו הוא .